Multilevelmethoden als Iterationsverfahren über Erzeugendensystemen

Die bei der numerischen Simulation verschiedener physikalischer und techni­ scher Vorgange auftretenden Differentialgleichungen fUhren nach Linearisierung und Diskretisierung zu sehr groBen linearen Gleichungssystemen, deren Be­ handlung mittels traditioneller direkter oder iterativer Losungsverfahren selbst auf modernsten Computern entweder gar nicht, oder nur mit unertraglich groBem Rechenaufwand und langer Rechenzeit moglich sind. 1m letzten Jahrzehnt sind nun effiziente Verfahren entwickelt worden, die den Losungsvorgang entscheidend beschleunigen. Hierbei sind hauptsachlich Mehr­ gittermethoden sowie Multilevel-Vorkonditionierer zu nennen, beide mit je­ weils verschiedenen Herleitungs- und Betrachtungsweisen sowie unterschied­ lichen Beweismethoden. Daneben ist durch den Einsatz paralleler Rechen­ systeme eine weitere Beschleunigung des Losungsvorgangs moglich geworden. Hierbei haben sich Gebietszerlegungsverfahren, unter anderem in Verbindung mit oben erwahnten Methoden, als besonders geeignet erwiesen. In dies em Buch stellen wir nun eine neue Sichtweise und Interpretationsmoglich­ keit fUr Mehrgitterverfahren, Multilevel-Vorkonditionierer und Gebietszerle­ gungsmethoden fUr elliptische Probleme VOL Dazu verwenden wir ein Erzeu­ gendensystem, das die Knotenbasen verschiedener Diskretisierungslevel umfaBt. Der Ritz-Galerkin-Ansatz fiihrt dann zu einem semidefiniten Gleichungssystem mit optimaler Kondition der Ordnung 0(1), wenn man von den fiir Iterations­ verfahren i.a. bedeutungslosen verschwindenden Eigenwerten absieht. Die oben erwahnten effizienten Verfahren (Mehrgitter, Multilevel-Vorkonditionierer) las­ sen sich nun als traditionelle iterative Methoden (GauB-Seidel, Jacobi-Vorkon­ ditionierer) iiber diesem semidefiniten System interpretieren. Bei der Konver­ genzanalyse dieser modernen Methoden gehen jetzt im Prinzip die gleichen Terme ein, wie schon bei der Analyse traditioneller Iterationsverfahren.