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Die neuere Geometrie bildet, ihrer Entstehung nach, einen Gegen satz nicht so sehr zur Geometrie der Alten, wie zur analytischen Geome trie. Von der Geometrie der Alten, wie sie von Euklid zusammengefaBt, nachher stetig erweitert und vielfach umgestaltet, aber in ihrem Charak ter nicht wesentlich verandert worden ist, gibt ein Teil die zum Studium der analytischen Geometrie erforderlichen Vorkenntnisse; man kann diesen Teil die Elemente nennen und jene Geometrie iiberhaupt die elementare wegen der gleichformigen Einfachheit ihres Verfahrens. Die analytische Geometrie ist dem Stoffe nach eine Fortsetzung, der Me thode nach ein Gegensatz zu den Elementen. In diesen tritt die Zahl nur auf, soweit die Natur des Problems sie bedingt, das Beweismittel ist sonst nur Konstruktion. Jene dagegen nimmt die Zahlenlehre, die Analysis, iiberall zu Hilfe, indem sie gerade danach strebt, jede geome trische Aufgabe auf eine Rechnung zuriickzufiihren; die Konstruktion wird dabei freilich nicht ganzlich ausgeschlossen. DaB zur Losung der hoheren Probleme, soweit es sich nicht geradezu urn die Auffindung von Zahlenwerten handelt, die analytische Geometrie nicht die einzige fruchtbare Methode ist, ward bewiesen durch die Weiterentwicklung der reinen Geometrie. Vorbereitet zum Teil durch die reichlich flieBenden Resultate der Rechnung, wurden Gesichtspunkte entdeckt, die moglichst ohne Rechnung gestatteten, verwickelte Beziehungen nicht minder leicht, als es auf dem andern Wege gelungen war oder gelingen konnte, zu beherrschen. Diese Schopfung, die ihre Hilfsmittel unmittelbar aus der Natur des Gegenstandes entnahm, wurde von der elementaren und von der analytischen Geometrie als reine, hohere, synthetische, auch neuere synthetische oder neuere unter schieden.
