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L’hypothèse de ce travail consiste à dire qu’il y a des 'mathématiques philosophiques'. L’idée qui sera défendue est que certaines pratiques des mathématiques fondamentales (comme le forcing, la recherche d’axiomes pour résoudre CH, les mathématiques inverses) et non fondamentales (algèbre, analyse, topologie et théorie des nombres) incorporent une dimension philosophique à travers l’usage de méthodes abductives, structurées par trois perspectives héritées de l’histoire de la philosophie : socratique (questionnement), aristotélicienne (recherche des principes premiers) et kantienne (exigence de sens). L’exemple central de ces méthodes reste le forcing, où la construction du modèle M[G] satisfaisant ¬CH s’appuie sur un raisonnement abductif préalable (recherche des hypothèses à injecter) qui relève des trois perspectives philosophiques citées. Mais, outre l’exemple technique du forcing comme cas paradigmatique où la triade philosophique est opérante, la réflexion sera étendue au-delà des mathématiques formelles (des fondements) vers les mathématiques habituelles , montrant ainsi l’universalité de cette recherche.
