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st Die Laplacesche Integraltransformation J e- F(t) dt kann als das kontinuierliche Analogon zur Dirichletschen Reihe . :E a'e-}'’s und zur Potenzreihe . :E en z' = . :E c' e-ns betrachtet werden. Wahrend jedoch diese Reihen langst zum Allgemeingut der Mathematiker geh6ren und in den verschiedensten Gebieten angewandt werden, ist die Laplace-Trans formation nur einem kleinen Kreis wirklich gelaufig, was urn so be dauerlicher ist, als sie an Verwendungsfahigkeit jene Reihen, die sie als Spezialfaile enthalt, noch weit tibertrifft. DaB die Laplace-Transfor mation, obwohl sie auf ein viel h6heres Alter als die Dirichletsche Reihe zuriickblicken kann, sich bisher so wenig eingebtirgert hat, liegt in erster Linie daran, daB bisher eine zusammenfassende Darsteilung ihrer Theorie fehlte. Das Material ist tiber die ganze Zeitschriftenliteratur verstreut und oft in andere Untersuchungen eingebettet, wo man es kaum ver mutet; vieles steht in alteren Jahrgangen schwer zuganglicher Zeit schriften. Dazu kommt, daB manche grundlegende Satze der Theorie zwar den Kennern geHiufig sind, sich aber nirgends explizit formuliert, noch weniger bewiesen finden. Auch das explizit Ausgesprochene und Bewiesene leidet haufig darunter, daB die Beweise unzulanglich oder nicht in wtinschenswertem Umfang gefiihrt sind. Aile diese Umstande lieBen bei der wachsenden Bedeutung der Laplace-Transformation den iVunsch nach einer Darsteilung immer fiihlbarer werden, die einerseits die theoretischen Grundlagen der Transformation ausfiihrlich und ein heitlich zusammenstelit, und andererseits zeigt, in welchen Gebieten sie bisher mit Erfolg angewandt worden ist. Man kann heute innerhalb dessen, was zur Laplace-Transformation zu rechnen ist, drei Richtungen unterscheiden.
