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Wie der Titel besagt, beabsichtigt das vorliegende Heft, über jenes ausgedehnte Problemgebiet zu berichten, das von der alten Frage der angenäherten Darstellung irrationaler Zahlen durch rationale beherrscht wird. In der Einleitung (Kap. I) wird das Thema näher abgegrenzt. An erster Stelle steht die Theorie der linearen Diophantischen Approximationen, wo einerseits (Approximation der einzelnen Zahl) die Lehre von den Kettenbrüchen und andererseits (Approximation linearer Formen mehrerer Veränderlicher an die Null) die von DIRICH LET, HERMITE und MINKOWSKI geschaffenen Methoden von zentraler Bedeutung sind. Zu diesem linearen Fall kann man auch die Lehre von den Transzendenzkriterien rechnen, die ja zu der Approximation linearer Formen in iimigster Beziehung steht und mit der Ketten bruchlehre durch die Theorie der arithmetischen Kriterien für die algebraischen Zahlen verknüpft ist. Von den nichtlinearen Problemen wurde die arithmetische Theorie der quadratischen und höheren Formen so gut wie außer acht gelassen, weil hier mehrere geschlossene Darstellungen zur Verfügung stehen. Ausführlich wird dagegen von den in den letzten Dezennien entstan denen Problemen und Methoden gehandelt, welche mit der ~ymptoti sehen Verteilung reeller Zahlfolgen modulo Eins zusammenhängen. Innerhalb der gewählten Begrenzung des Stoffes ist ein gewisses Maß der Vollständigkeit angestrebt worden, wenn nicht immer in der Beweiswiedergabe, so doch in der Literatur.
