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Seit DICKSONS Algebren und ihre Zahlentheorie erschien (1927), hat die Theorie der Algebren Fortschritte gemacht, die eine neue Übersicht über den Bestand der Theorie angebracht erscheinen lassen. Die neue Entwicklung kann in drei - vielfach verflochtene - Richtungen ge teilt werden. Von A. A. ALBERT, R. BRAUER und E. NOETHER wurde die Struktur der einfachen Algebren (Matrizesringe über Divisions algebren) erforscht; im Zusammenhang damit steht die Theorie der Faktorensysteme (R. BRAUER, E. NOETHER). Zweitens hat die Arith metik der Algebren durch die Arbeiten von BRANDT, SPEISER, ARTIN entscheidende Antriebe erhalten. Und schließlich haben HASSE und NOETHER den Zusammenhang der Arithmetik der Zahlkörper (Klassen körpertheorie und Reziprozitätsgesetz, Hauptgeschlechtssatz) mit den Algebren erkannt; auch Arbeiten von CHEV ALLEY und von DEURING über Normenreste gehören hier her. Diese Einteilung der Entwicklung liegt der Einteilung dieses Be richtes zugrunde. Teil I und II enthalten die allgemeine Theorie bis zu den WEDDERBuRNschen Struktursätzen (die in der allgemeinsten bekannten Fassung bewiesen werden). Teil III ist ein kurzer Über blick über die Darstellungstheorie. Teil IV enthält die neuere Struktur theorie der einfachen Algebren; Teil V die daran anschließende Theorie der Faktorensysteme; Teil VI die allgemeine Arithmetik der Algebren. Im letzten Teil wird der tiefere Zusammenhang der Algebren mit der Theorie der algebraischen Zahlen entwickelt. Dem Zweck der Sammlung, von der dieser Bericht ein Teil ist, habe ich dadurch gerecht zu werden geglaubt, daß. ich eine zwar knappe, aber vollständige Darstellung der Theorie in ihren Hauptzügen gegeben habe, mit Hinweisen auf die dazu gehörende Literatur.
